表題の通り、さくらのレンタルサーバーでメール通知が送れない問題が発生して、ログを見てもわからないし、さくらの管理画面にエラーログは出力されないしで、全く原因がわからず1日半くらい費やしてしまってからフォーラムに相談してやっと解決できたのでご紹介します。
フォーラムで教えてくださった方に感謝。

concrete5 JAPAN フォーラム コメント欄のメール通知が送られない

おそらくさくらのレンタルサーバーでのセキュリティで、送信元ドメインが不正だとphp関数からメールが送れない、というのが原因だったのかと思います。

環境は以下

• さくらレンタルサーバー　ビジネス
• PHP 5.6.30
• mySQL 5.5
• concrete5 8.0.3

確認した送れない通知メールは以下

• コメント欄ブロックの通知
• メール送信テスト
• パスワード再発行のメール

なお以下の通知メールは送れていました。

• ワークフローの通知
• フォームブロックからの投稿通知

application/config/generated_overrides/concrete.phpに以下を追記して対処しました。

<?php

/**
 * -----------------------------------------------------------------------------
 * Generated 2017-02-27T15:34:58+09:00
 *
 * DO NOT EDIT THIS FILE DIRECTLY
 *
 * @item      cache.full_page_lifetime_value
 * @group     concrete
 * @namespace null
 * -----------------------------------------------------------------------------
 */
return [
    'locale' => 'ja_JP',
    'version_installed' => '8.0.3',
    'version_db_installed' => '20161216000000',
    'misc' => [
        'login_redirect' => 'DESKTOP',
        'access_entity_updated' => 1488174725,
    ],
    'cache' => [
        'blocks' => false,
        'assets' => false,
        'theme_css' => false,
        'overrides' => false,
        'pages' => '0',
        'full_page_lifetime' => 'default',
        'full_page_lifetime_value' => null,
    ],
    'theme' => [
        'compress_preprocessor_output' => false,
        'generate_less_sourcemap' => false,
    ],
    
    
    // さくらレンタルサーバー用メール通知 ここから
    'email' => array(
        'enabled' => true,
        'default' => array(
            'address' => 'concrete5-noreply@' . (isset($_SERVER['SERVER_NAME']) ? $_SERVER['SERVER_NAME'] : 'localhost'),
        )
    ),
    // さくらレンタルサーバー用メール通知 ここまで    
    
];

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もともとphp5.3の環境で動いていたconcrete5.6を、php5.6が動いているサーバーに移行したところ、
こんなエラーが出て使えなくなってしまったので、エラー文の部分をコメントアウトしたら直った。

/concrete/libraries/3rdparty/Zend/Cache/Core.php on line 361

 if ($this->_options['automatic_serialization']) {
            // we need to serialize datas before storing them
            $data = serialize($data); 
        } 

 if ($this->_options['automatic_serialization']) {
            // we need to serialize datas before storing them
            // $data = serialize($data); 
        } 

原因は調査中。

あんまりコアファイルをいじりたくないけど、もう5.6をこれ以上アップデートすることもないし、サイトリニューアルの時にはconcrete5.7でやりましょうと提案すれば問題はなさそう。

余談。5.6がゲシュタルト崩壊しそう

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